Willkommen im Trainingskurs Algorithmenkonstruktion

Anliegen des Kurses
Goals and Intention
Zum Algorithmusbegriff
Anregungen
Zitate

II. Zum Algorithmusbegriff

Klassischer (deterministischer) Algorithmusbegriff (intuitive Definition)

• Allgemeingültige, detaillierte, eindeutige und formalisiert ("rein mechanisch") ausführbare Vorschrift

• zum schrittweisen Lösen einer lösbaren Aufgabenklasse (d.h. aller durch konkrete Parameterwerte charakterisierten Aufgaben eines bestimmten Typs, z.B. Lösen der quadratischen Gleichung   x² + px + q = 0   (p, q - Parameter))

• unter Zugrundelegung eines bestimmten Prozessortyps (Mensch, v. Neumann-Rechner, systolisches Feld, ...; sequentiell, sequentiell-parallel, parallel)

• mit endlichem Aufwand (Ressourcen, Zeit),

• niedergeschrieben als endlicher Text in einer vereinbarten Notierungsform (algorithmisches System).

Durch Einbringen nichtdeterministischer, stochastischer, evolutionärer, genetischer, ... Elemente gelangt man zu Algorithmen, die zum Lösen bestimmter Aufgabenklassen wesentlich leistungsfähiger sind als klassische Algorithmen: stochastische (probabilistische), genetische, ... Algorithmen.

Algorithmus - ein zentraler Begriff der Mathematik und Informatik

Algorithmentheorie, Algorithmik

Der Begriff Algorithmus stellt einen zentralen Begriff der technisch orientierten Grundlagenwissenschaft Informatik dar (jeder Programmerstellung geht die Erarbeitung eines Lösungsalgorithmus für das vorliegende Problem voraus (Algorithmierung), jedes Programm ist ein in einer Programmiersprache notierter Algorithmus). Andererseits ist er auch ein zentraler Begriff der Mathematik und ist historisch in ihrem Schoße entstanden.

Dies bedingt unterschiedliche Sichtweisen und Akzentuierungen des Algorithmusbegriffs:

• die der Algorithmentheorie (als Disziplin der Mathematik, aber auch der theoretischen Informatik), die sich

  • mit den mathematisch exakten Definitionen des Algorithmus (und deren Gleichwertigkeit),

  • mit dem Problemkreis algorithmische Lösbarkeit und Nichtlösbarkeit, Entscheidbarkeit, Berechenbarkeit, ...

  • mit der Konstruktion und Darstellung von Algorithmen,

  • sowie mit prinzipiellen Komplexitätsmaßen für Abarbeitungsschrittzahl und Speicherplatzbedarf von Algorithmen (Komplexitätstheorie)

  befaßt

• und die der Algorithmik (als Ingenieurdisziplin im Vorfeld von Programmierungstechnik und Softwaretechnologie),

  • die auf der Basis einer ingenieurmäßig intuitiven Algorithmusdefinition

  • Erfindung, Entwurf und konstruktive Ausarbeitung in bezug auf einen gegebenen Prozessortyp (allgemeiner: in bezug auf vorliegende Hardware- und Softwareumgebung) rechenzeit-, speicherplatz-, ... optimaler Algorithmen zur Lösung bzw. hinreichenden Näherungslösung gegebener Aufgabenstellungen,

  • aber auch die Entwicklung zugehöriger praktikabler Entwurfs-, Notierungs- und Umformungsmittel für Algorithmen im Vorfeld der programmiersprachlichen Notierung

  • sowie die Schaffung von Algorithmensammlungen bzw. -banken

  zum Gegenstand hat.

Literatur

Klassischer Algorithmusbegriff, klassische Algorithmenkonstruktion:

[1]	D.E. Knuth. The Art of Computer Programming. Vol. I: Fundamental Algorithms. Vol. II: Seminumerical Algorithms. Vol. III: Sorting and Searching. Vol. IV: Combinatorial Algorithms. Reading 1997
[2]	K. Mehlhorn. Data Structures and Algorithms. 1: Sorting and Searching. 2: Graph Algorithms and NP-Completeness. 3: Multi-Dimensional Searching and Computational Geometry. Berlin 1984
[3]	E. Bach, J.O. Shallit. Algorithmic Number Theory. Vol. 1: Efficient Algorithms. Cambridge 1996
[4]	L. Banadiowsky, A. Kreczmar, W. Rytter. Analysis of Algorithms and Data Structures. Wokingham, Reading 1991
[5]	N. Blum. Theoretische Informatik. Eine anwendungsorientierte Einführung München 1998
[6]	G. Brassard, P. Bratley. Algorithmik - Theorie und Praxis. Altenkirchen 1993
[7]	M. Bretz. Algorithmen und Berechenbarkeit. Braunschweig, Wiesbaden 1992
[8]	H. Cohen. A Course in Computational Algebraic Number Theory. Berlin, Heidelberg, New York 1996
[9]	T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest. Introduction to Algorithms. Cambridge, London, New York, Toronto 1994
[10]	D. Cox, J. Little, D. O'Shea. Ideals, Varieties and Algorithms. An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra. Heidelberg 1997
[11]	I. Dittmer. Konstruktion guter Algorithmen. Stuttgart 1996
[12]	W. Dunham. Mathematik von A bis Z. Eine alphabetische Tour durch vier Jahrtausende. Basel 1966
[13]	O. Forster. Algorithmische Zahlentheorie. Braunschweig, Wiesbaden 1996
[14]	G. Goos. Vorlesungen über Informatik. Band 2: Objektorientiertes Programmieren und Algorithmen. Berlin, Heidelberg 1996
[15]	J. Wolff von Gudenberg. Algorithmen, Datenstrukturen, Funktionale Programmierung. Bonn 1996
[16]	R.H. Güting. Datenstrukturen und Algorithmen. Stuttgart 1992
[17]	D. Harel. Algorithmics: The Spirit of Computing. Reading 1992
[18]	D. Herrmann. Algorithmen Arbeitsbuch. Bonn, München, Paris, Reading 1992
[19]	J.H. Kingston. Algorithms and Data Structures. Design, Correctness, Analysis. Sydney, San Juan 1990
[20]	H. Klaeren. Vom Problem zum Programm. Stuttgart 1990
[21]	R. Klein. Algorithmische Geometrie. Bonn, Reading 1997
[22]	F.T. Leighton. Einführung in Parallele Algorithmen und Architekturen. Gitter, Bäume und Hypercubes. Bonn, Albany 1997
[23]	V. Manber. Introduction to Algorithms. A Creative Approach. Reading 1989
[24]	J. Nievergelt, K.H. Hinrichs. Algorithms and Data Structures. Englewood Cliffs 1993
[25]	J. O'Rourke. Computional Geometry in C. Cambridge 1996
[26]	Th. Ottmann. Prinzipien des Algorithmenentwurfs. Heidelberg, Berlin 1998
[27]	Th. Ottmann, P. Widmeyer. Algorithmen und Datenstrukturen. Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich 1993
[28]	T. Pavlidis. Algorithmen zur Graphik und Bildverarbeitung. Hannover 1990
[29]	J.H. Reif. Synthesis of Parallel Algorithms. San Mateo 1993
[30]	R. Richter, P. Sander, W. Stucky. Problem - Algorithmus - Programm. Stuttgart 1993
[31]	A. Schmitt, O. Deussen, M. Kreeb. Einführung in graphisch-geometrische Algorithmen. Stuttgart 1996
[32]	U. Schöning. Algorithmen - kurz gefaßt. Heidelberg, Berlin 1997
[33]	R. Sedgewick. Algorithmen. Bonn, München, Reading 1991
[34]	R. Sedgewick, P. Flajolet. An Introduction to the Analysis of Algorithms. Reading 1996
[35]	A. Shen. Algorithms and Programming. Basel 1996
[36]	S.S. Skiena. The Algorithm Design Manual. New York 1977
[37]	C. Überhuber. Computer-Numerik. Band 1 und 2, Berlin, Heidelberg 1995
[38]	N. Wirth. Algorithmen und Datenstrukturen. Stuttgart 1995
[39]	J. Ziegenbalg. Algorithmen. Von Hammurapi bis Gödel. Heidelberg, Berlin, Oxford 1996
[40]	M.J. Atallah (ed). Algorithms and Theory of Computation Handbook. Boca Raton, London, New York, Washington 1999
[41]	R.E. Neapolitan, K. Naimipour. Foundations of Algorithms using C++ Pseudocode. Boston, London, Singapore 1998
[42]	G.J.E. Rankins. Compared to What? An Introduction to the Analysis of Algorithms. New York 1992

Neue Ansätze:

[43]	L.M. Adleman.Molecular computation of solutions to combinatorial problems. Science 266(1994), 5187, 1021-1024
[44]	J.H.M. Dassen. A Bibliography of Molecular Computation and Splicing Systems. http://www.wi.LeidenUniv.nl/~jdassen/dna.html
[45]	E.B. Baum, D. Boneh. Running dynamic programming algorithms on a DNA computer. In Proceedings of the Second Annual Meeting on DNA based Computers, June 1996
[46]	R.J. Lipton. Using DNA to solve NP-complete problems. Technical Report, Princeton University 1995
[47]	D. Rooß. Recent Developments in DNA-Computing.
[48]	D. Rooß, K.W. Wagner. On the power of DNA computing. Information and Computation 131(1996)2, 95-109
[49]	S. Schulze-Kremer. Molecular Bioinformatics. Algorithms and Applications. Berlin, New York 1996
[50]	J. Brown. A quantum revolution for computing. New Scientist (24. Sept. 1994), 21-24
[51]	S. Lloyd. Quantum-Mechanical Computers. Scientific American 273(1995)4, 44-48, 5
[52]	S. Lloyd. Quanten-Computer. Spektrum der Wissenschaft 16(1995)12, 62-69
[53]	Quantum Computation Archive. http://feynman.stanford.edu/qcomp/
[54]	J. Rink. Alice im Wunderland. Quantenrechner: Auf dem Sprung zur Realität. c't-magazin für computertechnik 15(1997)3, 110-116
[55]	C. Williams, S. Clearwater. Explorations in Quantum Computing. Berlin, Heidelberg 1997
[56]	M. Gross. Quantencomputer lernen rechnen. Spektrum der Wissenschaft 21(1998)6, 16,17,21
[57]	N. Gershenfeld, I.L. Chuang. Flüssige Quantencomputer. Spektrum der Wissenschaft 21(1998)8, 54--59
[58]	I.L. Chuang, L.M.K. Vandersypen, X. Zhou, D.W. Leung, S. Lloyd. Experimental Realization of a Quantum Algorithm. Nature 393(1998)14. May, 143--146
[59]	I.L. Chuang, N. Gershenfeld, M. Kubinec. Experimental Implementation of Fast Quantum Searching. Physical Review Letters 80(1998), 3408--3411
[60]	J.A. Jones, M. Mosca, R.H. Hansen. Implementation of a Quantum Search Algorithm on a Quantum Computer. Nature 393(1998)18. May, 344--346
[61]	G. Binnig. Aus dem Nichts. Über die Kreativität von Natur und Mensch. München, Zürich 1992
[62]	E. Thro. Künstliches Leben - Eine spielerische Entdeckungsreise. Reading 1994
[63]	K.E. Drexler. Nanosystems: Molecular Machinery, Manufacturing, and Computation. New York 1992
[64]	The Forth Foresight Conference on Molecular Nanotechnology 1995 http://nano.xerox.com/nanotech/nano4.html Papers published in: Nanotechnology 7(1996)3
[65]	Future Nanocomputer Technologies http://www.mitre.org/research/nanotech/futurenano.html
[66]	A. Teolis. Computational Signal Processing with Wavelets. Basel, Boston 1998
[67]	H. Meinhardt. Wie Schnecken sich in Schale werfen. Muster tropischer Meeresschnecken als dynamische Systeme. Berlin, Heidelberg 1997
[68]	G.A. Losa, T. Nonnenmacher, D. Merlini, E.R. Weibel. Fractals in Biology and Medicine. Vol. 2. Basel, Boston 1998
[69]	R.Neapolitan, K.Naimipour. foundation of Algorithms using c++ pseudocode. Bosten, London, Singapure 1997
[70]	C.H. Chen, L.P. Pan, P.S.P. Wang. Handbook of Pattern Recognition & Computer Vision. Singapure, New Yersey, London, Honkong 1999
[71]	J.-L. Chadert (Ed.) . A History of Algorithms. From the Pabble to the Microchip. Berlin, Heidelberg, New York,.. 1999

Tabellen mathematischer Konstanten:

[72]	J. Borwein, P. Borwein. A Dictionary of Real Numbers. Pacific Grove 1990
[73]	D. Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. London, New York 1987
[74]	S. Finch. Favorite Mathematical Constants. http://www.mathsoft.com/asolve/constant/constant.html
[75]	S. Finch. Table of Mathematical Constants. http://www.mathsoft.com/asolve/constant/table.html
[76]	S. Plouffe. Tables of Constants. http://www.cecm.sfu.ca/projects/ISC/I_d.html
[77]	S. Plouffe. Welcome to Plouffe's Inverter. http://www.lacim.uqam.ca/pi/
[78]	S. Plouffe. Plouffe's Inverter. Tables of Constants. http://www.lacim.uqam.ca/pi/table.html
[78]	E. Maor. e: The Story of a Number. Princeton 1993
[79]	A. Beutelspacher, B. Petri. Der Goldene Schnitt. Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich 1995
[80]	The Golden section ratio: Phi. http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi.html
[81]	Feigenbaum Constants. http://www.mathsoft.com/asolve/constant/fgnbaum/fgnbaum.html
[82]	J.H. Conway, R.K. Guy. The Book of Numbers. New York 1996
[83]	J. Arndt, C. Haenel. π - Algorithmen, Computer, Arithmetik. Berlin, Heidelberg 1998

 III. Anregungen

Dieser Abschnitt summiert Kurzmitteilungen über neuartige und effizienzsteigernde Konstruktionsprinzipien, Verfahren, Anordnungen, ... aus Elektrotechnik, Maschinenwesen, Technologie, ... die dem Algorithmenkonstrukteur neue Ideen und Anregungen zur Entwicklung effizienter und robusterer Algorithmen vermitteln könnten.

• von der Stein, N.:Zustromdüse zur Verbesserung des Schiffantriebes ein Erfolg.
  Ein vor gut zehn Jahren auf den Markt gebrachtes einfaches Strömungsleitelement für Schiffe erspart mittlerweile weltweit pro Jahr eine Treibstoffmenge, die dem Verbrauch des gesamten deutschen Straßenverkehrs in drei Tagen entspricht.
  Spektrum der Wissenschaft (1998)6, S. 25-27

• Entwicklung und Technologie: Schnelle Schiffe.
  Wie zur Blütezeit der Seefahrt bedienen auch heute im wesentlichen Schiffe den internationalen Frachverkehr. Weil die Waren zu lang unterwegs sind, sollen neue Rumpfformen und effiziente Antriebe Containerschiffen Dampf machen und die Transportleistung erhöhen. Vor allem dem sportlichen Ehrgeiz gelten die Entwicklungen neuer Materialien und Fertigungsverfahren für Segel.
  Spektrum der Wissenschaft (1998)8, S. 84-100

• P. Pletschacher: Die Tricks der Aerodynamiker.
  Forscher haben herausgefunden, warum der Hai ein so guter Schwimmer ist: Feine Rillen in den Schuppen verringern seinen Wasserwiderstand. Diese Erfindung der Evolution machen sich Flugzeugbauer jetzt zunutze: Künftig wollen sie mit einer ähnlichen Rillen-Haut auch Jets ausrüsten - und dadurch Riesenmengen Sprit sparen. Lesen Sie, womit die Aerodynamiker sonst noch experimentieren.
  Peter Moosleitners interessantes Magazin (1999)2, S. 80-85

• M. Dickinson: Die Kunst des Insektenfluges
  Nur durch eine Kombination bisher unerforschter strömungsdynamischer Effekte gelingt es Fliegen, in der Luft zu schweben.
  Spektrum der Wissenschaft (2001)9, S. 58-65

 IV. Zitate

• Ein fachkundiger Problemlöser muß zwei unvereinbare Qualitäten besitzen - rastlose Phantasie und geduldige Beharrlichkeit.

  Howard W. Eves

  Quelle:
  Singh, S.: Fermats letzter Satz. Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels.
  München, Wien 1998

   

• General rules for programming have been discovered. Most of them have been used in the Kansas City freight yards for a long time.

  Derrick Lehmer

  Quelle:
  Knuth, D.E.: The Art of Computer Programming. Vol. 1
  Reading,.. 1997

   

• Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir nämlich zum Vertrauen berechtigt, daß die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

  Albert Einstein

  Quelle:
  Einstein, A.: "Zur Methodik der theoretischen Physik", in: Mein Weltbild.
  Verlag Ullstein, Frankfurt 1972, S. 116

   

• Der Zweifler

  Immer wenn uns Die Antwort auf eine Frage gefunden schien Löste einer von uns an der Wand die Schnur der alten Aufgerollten chinesischen Leinwand, so daß sie herabfiel und Sichtbar wurde der Mann auf der Bank, der So sehr zweifelte. Ich, sagte er uns, Bin der Zweifler. Ich zweifle, ob
  Die Arbeit gelungen ist, die eure Tage verschlungen hat.
  Ob was ihr gesagt, auch schlechter gesagt, noch für einige Wert hätte.
  Ob ihr es aber gut gesagt und euch nicht etwa
  Auf die Wahrheit verlassen habt, dessen, was ihr gesagt habt.
  Ob es nicht viel-deutig ist, für jeden möglichen Irrtum
  Tragt ihr die Schuld. Es kann auch zu eindeutig sein
  Und den Widerspruch aus den Dingen entfernen; ist es zu eindeutig?
  Dann ist es unbrauchbar, was ihr sagt. Euer Ding ist dann leblos.
  Seid ihr wirklich im Fluß des Geschehens? Einverstanden mit
  Allem, was wird? Werdet ihr noch? Wer seid ihr? Zu wem
  Sprecht ihr? Wem nützt es, was ihr da sagt?
  Und, nebenbei:
  Läßt es auch nüchtern? Ist es am Morgen zu lesen?
  Ist es auch angeknüpft an Vorhandenes? Sind die Sätze, die
  Vor euch gesagt sind, benutzt, wenigstens widerlegt? Ist alles belegbar?
  Durch Erfahrung? Durch welche?
  Aber vor allem
  Immer wieder vor allem andern: Wie handelt man
  Wenn man euch glaubt, was ihr sagt? Vor allem: Wie handelt man?
  

  Wir rollten zusammen den zweifelnden
  Blauen Mann auf der Leinwand, sahen uns an und
  Begannen von vorne.

  Bertolt Brecht

  Quelle:
  Brecht, B.: Der Zweifler. In: Ders.: Werke. Große kommentierte Berliner und Frankfurter Ausgabe. Hg. V. Werner Hecht, Jan Knopf, Werner Mittenzwei, Klaus-Detlef Müller. Bd. 14, Gedichte 4, 1928-1939. Berlin, Weimar: Aufbau-Verlag 1993, S. 376-377, 650.

   

• Ich habe nie etwas gemacht, das "nützlich" gewesen wäre. Für das Wohlbefinden der Welt hatte keine meiner Entdeckungen — ob im Guten oder im Schlechten — je die geringste Bedeutung, und daran wird sich vermutlich auch nichts ändern. Ich habe mitgeholfen, andere Mathematiker auszubilden, aber Mathematiker von derselben Art, wie ich einer bin, und ihre Arbeit war, zumindest soweit ich sie dabei unterstützt habe, so nutzlos wie meine eigene. Nach allen praktischen Maßstäben ist der Wert meines mathematischen Lebens gleich Null, und außerhalb der Mathematik ist es ohnehin trivial. Ich habe nur eine Chance, einem Verdikt vollkommener Trivialität zu entgehen, und zwar daß man mir zugesteht, etwas geschaffen zu haben, das sich zu schaffen lohnte. Daß ich etwas geschaffen habe, ist nicht zu bestreiten, die Frage ist, was es wert ist.

  Was man für mich und jeden Mathematiker wie mich vorbringen kann, ist das folgende: ich habe etwas zur Erkenntnis beigetragen und anderen geholfen, ebenfalls etwas beizutragen, und dieses Etwas hat einen Wert, der sich nur in seinem Umfang, nicht aber in der Art von dem unterscheidet, was die großen Mathematiker oder andere, bedeutende und unbedeutende Künstler geschaffen haben, die etwas, das an sie erinnert, hinterließen.

  Godfrey Harold Hardy

  Quelle:
  Davis, P. J.; Hersh, R.: Erfahrung Mathematik.
  Basel, Boston, Stuttgart 1994

   

• Eine der Kardinalregeln mathematischer Forschung besteht darin, eine gute Idee nicht gleich aufzugeben, wenn sie nicht funktioniert.

  Quelle:
  Stewart, I.: Mathematik: Probleme - Themen - Fragen.
  Basel, Boston, Berlin 1990

   

• .. Methode des richtigen Vernunftgebrauchs und der wissenschaftlichen Wahrheitsfindung ..

  .. so glaubte ich, statt einer großen Anzahl von Regeln, aus denen die Logik besteht, an den folgenden vier genug zu haben, unter der Bedingung, daß ich den festen und beharrlichen Entschluß faßte, sie stets zu befolgen.

  Die erste war: niemals eine Sache als wahr anzunehmen, die ich nicht als solche sicher und einleuchtend erkennen (evidemment connaitre; certo et evidenter cognoscere) würde, das heißt sorgfältig die Übereilung und das Vorurteil zu vermeiden und in meinen Urteilen nur soviel zu begreifen, wie sich meinem Geist so klar und deutlich (clairement et distinctement; clare et distincte) darstellen würde, daß ich gar keine Möglichkeit hätte, daran zu zweifeln.

  Die zweite: jede der Schwierigkeiten, die ich untersuchen würde, in so viele Teile zu zerlegen (diviser) als möglich und zur besseren Lösung wünschenswert wäre.

  Die dritte: meine Gedanken zu ordnen; zu beginnen mit den einfachsten und faßlichsten Objekten und aufzusteigen allmählich und gleichsam stufenweise bis zur Erkenntnis der kompliziertesten, und selbst solche Dinge irgendwie für geordnet zu halten, von denen natürlicherweise nicht die einen den anderen vorausgehen.

  Und die letzte: überall so vollständige Aufzählungen und so umfassende Übersichten zu machen, daß ich sicher wäre, nichts auszulassen.

  René Descartes

  Quelle:
  Descartes, R.: Abhandlung über die Methode des richtigen Vernunftgebrauchs und der wissenschaftlichen Wahrheitsfindung.
  Stuttgart 1961

   

• Vereinfachtes Lakatos-Modell für die Heuristik mathematischer Entdeckungen.

  

  Quellen:
  Davis, P.J.; Hersh, R. ; Erfahrung Mathematik.
  Basel,Boston, Stuttgart 1994

  Lakatos, I.: Mathematics, Science and Epistomology.
  Cambridge 1978

  Lakatos, I.: Beweise und Widerlegungen. Die Logik mathematischer Entdeckungen. Hg. von J. Worall und E. Zahar.
  Braunschweig / Wiesbaden: Vieweg 1979

  Lakatos, I.: Philosophische Schriften. Hg. von J. Worrall und G. Currie. Bd. 1: Die Methodologie der wissenschaftlichen Forschungsprogramme. Bd. 2: Mathematik, empirische Wissenschaft und Erkenntnistheorie.
  Braunschweig / Wiesbaden 1982

   

• Wer sich keinen Rat in einer Lage, in einer Unternehmung, einem Geschäft weiß, der warte; weise alle Gedanken an die Sache selbst zurück; tue nichts. Das Wollen und der Vorsatz werden dadurch nur stärker werden. Man sammelt und speichert auf diese Weise nur Kräfte, die von überall herströmen; sie kommen in Form eines Einfalls, einer Inspiration, einer Gelegenheit oder eines Zufalls.

  Quelle: ?

   

• He has all the Celtic power of quick intuition, but he is deficient in the wide range of exact knowledge which is essential to the higher developments of his art.

  Quelle:
  A.C. Doyle: The Sign of Four.
  The Penguin Complete Sherlock Holmes.
  Harmondsworth 1987

   

• Nil desparare
  (Nicht verzweifeln)

  Sinnspruch in Gauß' Mathematischem Tagebuch (1796-1814), in dem der Zusammenhang zwischen π - Berechnung und Arithmetisch-Geometrischem Mittel aufgezeigt wird.

  Quelle:
  J. Arndt, C. Haend: Pi. Algorithmen, Computer, Arithmetik.
  Berlin, Heidelberg, New York 1998

   

• Der Mann, der den Berg abtrug, war derselbe, der anfing, kleine Steine wegzutragen.

  Quelle:
  Funk 23 (1999) 2, S. 33

   

• Kern der Kreativität bildet die Fähigkeit, etwas neu wahrzunehmen.

  Quelle:
  D.R. Hofstädter und die Fluid Analogies Group: Die FARGonauten. Über Analogie und Kreativität.
  Stuttgart 1996

   

• Aber es gibt keine schwarz-weiße Antwort auf eine graue Frage.

  Quelle:
  Carl Djerassi