In [1] wurde gezeigt:
Die lineare Differenzengleichung [2,3,4,5,6]
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(1) |
mit
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(2) |
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(3) |
generiert für die Anfangswerte
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(4) |
bei  als Lösung eine Bruchzahl
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(5) |
mit
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(6) |
in Komponentenschreibweise
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(7) |
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(8) |
Der Zähler 
ist dabei sowohl eine lineare Funktion der Anfangswerte 
, als auch eine lineare Funktion der
Koeffizienten 
;
der Nenner 
ist von
den Anfangswerten unabhängig und eine lineare Funktion der Koeffizienten
.
Da die Koeffizienten ein vollständiges System (Gl. (2)) reziproker
Zweierpotenzen (Gl. (3)) bilden, läßt sich die lineare
Differenzengleichung (1) auch als Huffman-geschachtelter Mittelwertausdruck
[1] darstellen.
So hat man z.B. für
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(9) |
den Mittelwertausdruck
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(10) |
mit
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(11) |
Damit läßt sich die Berechnung von  auch als wiederholte strukturierte arithmetische
Mittelwertbildung interpretieren (zu Details vgl. [1]).
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Für das vorliegende Beispiel ist
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(12) |
Ein ganz anderes Verhaltensmuster zeigt dieselbe
Differenzengleichung
| (1) |
für die Koeffizienten
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(13) |
und die Anfangswerte
(vgl. [7]).
| (4) |
Hier ist
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(14) |
Der Differenzenquotient von  jedoch
ergibt für eine Irrationalzahl:
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(15) |
unabhängig von der Initialisierung Gl. (4) (den Trivialfall 
ausgeschlossen).
Die Möglichkeit zur Wurzelberechnung ist leicht
auf beliebige Radikanden 
erweiterbar:
Die Differenzengleichung
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(16) |
generiert für
in derselben Weise
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(17) |
Aufgabe 18.1
Leiten Sie die Gln. (5) und (6) her.
Aufgabe 18.2
Geben Sie einen möglichst einfachen Algorithmus (A1) zur Umformung der
rechten Seite der Differenzengleichung (1) mit den Nebenbedingungen Gl. (2)
und Gl. (3) in einen Huffman-geschachtelten Mittelwertausdruck an
(vgl. Beispiel Gl. (9) 
Gl. (10) und [8,9]).
Aufgabe 18.3
Untersuchen Sie experimentell das Konvergenzverhalten der speziellen
Differenzengleichung (9) für verschiedene repräsentative
Anfangswerte und diskutieren Sie das Ergebnis.
Aufgabe 18.4
Verifizieren Sie die Gln. (15) und (17).
Aufgabe 18.5
Untersuchen Sie experimentell das Konvergenzverhalten der Differenzengleichung
(16) für repräsentative Werte von 
und 
sowie für verschiedene Anfangswerte.
Für welche Anfangswertkonstellationen konvergiert dabei der
Differenzenquotient 
am schnellsten gegen den Grenzwert Gl. (17)?
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