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Berechnung und Klassifikation des ebenen Vierecks Algorithmen aus der analytischen Geometrie/ computational geometry [1,2]

Wir betrachten ein einfaches konvexes ebenes Viereck P₁P₂P₃P₄, Bild 1.

Bild 1

Seine Eckpunkte P_i sind durch ihre kartesischen Koordinaten (x_i, y_i) gegeben:

P₁ = (x₁, y₁),   P₂ = (x₂, y₂),   P₃ = (x₃, y₃),   P₄ = (x₄, y₄).

2.1.

Entwickeln Sie eine möglichst einfache und kompakte (insbesondere die dem Problem innewohnende Symmetrie adäquat widerspiegelnde) Bestimmungsgleichung für den Flächeninhalt A dieses Vierecks in Abhängigkeit von den Koordinaten x_i und y_i der Eckpunkte P_i (vgl. [3]).

2.2.

Untersuchen Sie die Abhängigkeit von A vom "Umlaufsinn" P₁->P₂->P₃->P₄->P₁.

2.3.

Gilt die in 2.1. erhaltene Bestimmungsgleichung für A auch dann noch, wenn das gegebene Viereck nicht-konvex ist, d.h. gemäß Bild 2 einen konkaven Eckpunkt (hier P₁) besitzt?

Begründen Sie Ihre Antwort!

Bild 2

2.4.

Bild 3

Entwickeln Sie für diesen Fall einen möglichst einfachen Formelausdruck für die Koordinaten x_s und y_s des Seitenschnittpunktes S.

2.5.

Entwickeln Sie einen möglichst einfachen Algorithmus, mit dessen Hilfe allein aus den Koordinaten (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) und (x₄,y₄) durch Rechnung festgestellt wird:

P1P2P3P4 ist
einfach		überschlagen
konvex	nicht konvex