Modul 29

Teil 1

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Die Module

Schwarz-Weiß-Muster aus reellen Zahlen

$\epsfbox{modul29_1.ps}$ n [1] sowie DACModul 24 und DACModul 26 werden Binärkodes für positive reelle Zahlen rbetrachtet. Das sind eineindeutige Abbildungen B, die jeder positiven reellen Zahl r $\in$ $\mathbb{R}$ [a, b] aus einem bestimmten Intervall [a, b] ; 0 < a < b umkehrbar eindeutig ein endliches oder unendliches Kodewort w $\in$ {0, 1}^* zuordnen:

B : $\mathbb{R}$ [a, b] $\displaystyle \leftrightarrow$ {0, 1}^*

(1)

w = b (r)

(2)

r = infb (w) .

(3)

Diese Binärkodierung dient in der Regel dazu, bestimmte Eigenschaften von r zu kennzeichnen bzw. zu erkennen.

$\epsfbox{modul29_2.ps}$ ine zweidimensionale Darstellung des Binärwortes

w = z(0) z(1) z(2) z(3) ... $\displaystyle \in$ {0, 1}^* ,

(4)

z.B. unter Benutzung des Notierungsmodells Ulam-Spirale [1,2,3] als Schwarz-Weiß-Muster gemäß Bild 1

$\epsfbox{modul24_14.ps}$
Bild 1: Ulam-Spirale

eröffnet gegenüber seiner üblichen eindimensionalen Zeichenkettennotation Gl. (4) qualitativ neue Möglichkeiten zur Darstellung (Visualisierung) und zur Analyse der ,,inneren Struktur`` der zugehörigen Zahl r (neue methodische, heuristische und experimentelle Zugänge, z.B. auch durch Einbeziehung des Methodeninventars der digitalen Bildverarbeitung [4,5,6]).

$\epsfbox{modul29_3.ps}$ ndererseits läßt sich jedem diskontinuierlichen Schwarz-Weiß-Muster

m : $\mathbb{N}$ ₀ x $\mathbb{N}$ ₀ $\displaystyle \rightarrow$ {0, 1} (5)

via Ulam-Abtastung gemäß Bild 1 eindeutig ein Binärwort Gl. (4) und damit mittels Dekodierung Gl. (3) eine reelle Zahl r als kompakte Speicherform von m zuordnen, aus der m mittels Gl. (2) wieder vollständig rekonstruierbar ist (vgl. DACModul 26, Aufgabe 26.7).

$\epsfbox{modul29_4.ps}$ er vorliegende DACModul 29 nimmt die in [1] und in DACModul 26 mit eindrucksvollen Beispielen belegte Beobachtung wieder auf, daß via

r $\displaystyle \rightarrow$ Gl. (2) $\displaystyle \rightarrow$ Gl. (4) $\displaystyle \rightarrow$ Bild 1

(6)

ästhetisch sehr interessante escheroide [7,8,9] oder ornamentale [10,11,12,13,14] Schwarz-Weiß-Muster erzeugt werden können. Hiervon ausgehend erfolgt eine systematische Untersuchung der Erzeugung solcher Muster. Grundlage hierfür bilden die in Tabelle 1 zusammengestellten Kodierungsalgorithmen (Realisierungsalgorithmen) für Gl. (2) sowie weitere zweidimensionale Notierungsmodelle für w (Bild 2, [15,16,17,18,19]).

Algorithmus 1 r $\in$ $\mathbb{R}$ ₊ , r $\notin$ $\mathbb{N}$ DACModul 26, (A4); DACModul 16, (A1)
Regel	Bedingung	Aktion	Verbundaktion
1		$x:=r\,;\;y:=1^{\mbox{\scriptsize int}(r)}$
2		$x:=\displaystyle\frac{1}{\mbox{frac}\,(x)}\,;\,y:=y\circ 0^{\mbox{\scriptsize int}(x)}$
3	${\mbox{frac$(x)=0$\space \underline{oder}}\atop \mbox{length$(y)\ge n$}}$	${\mbox{$w:=$\space bzw. $:\approx y$} \atop \mbox{$l:=$\space length$(y)$}}$	stop
4		$x:=\displaystyle\frac{1}{\mbox{frac}\,(x)}\,;\,y=y\circ 1^{\mbox{\scriptsize int}(x)}$
5	${\mbox{frac$(x)=0$\space \underline{oder}}\atop \mbox{length$(y)\ge n$}}$	${\mbox{$w:=$\space bzw. $:\approx y$} \atop \mbox{$l:=$\space length$(y)$}}$	stop
6			goto r2
int (x) = $\lfloor$ x $\rfloor$ ; frac (x) = x - int(x) a^b = $\underbrace{aaa\ldots a}_{b-\mbox{\scriptsize mal}}^{}\,$ ; a⁰ = $\varepsilon$ ; a $\in$ {0, 1} ; b $\in$ $\mathbb{N}$ a`o`b - Wortverkettung; $\varepsilon$ - leeres Wort; y`o`1⁰ = y`o`0⁰ = y ; n $\in$ $\mathbb{N}$ - Begrenzer

Algorithmus 2 r $\in$ $\mathbb{R}$ (0, 2)[1], Abschn. 2.3
Regel	Bedingung	Aktion	Verbundaktion
1		x : = r ; y : = $\varepsilon$
2		x : = x² - 2
3	${\mbox{$x=0$\space \underline{oder}}\atop \mbox{length$(y)= n$}}$	${\mbox{$w:=\,\mbox{bzw.}\,:\approx y $}\atop \mbox{$l:=\mbox{length}(y)$}}$	stop
4	x > 0	y : = y`o`0	goto r2
5		y : = y`o`1	goto r2
Algorithmus 3 r $\in$ $\mathbb{R}$ [a, b] ; a, b? für k $\in$ $\mathbb{Q}$ [1], Abschn. 2.4
Regel	Bedingung	Aktion	Verbundaktion
1		x : = r ; y : = $\varepsilon$
2		x : = \| x \| - 2
3	${\mbox{$x=0$\space \underline{oder}}\atop \mbox{length$(y)= n$}}$	${\mbox{$w:=\,\mbox{bzw.}\,:\approx y $}\atop \mbox{$l:=\mbox{length}(y)$}}$	stop
4	x > 0	y : = y`o`0	goto r2
5		y : = y`o`1	goto r2
Algorithmus 4 r $\in$ $\mathbb{R}$ ₊ , r $\notin$ $\mathbb{N}$ DACModul 16, (A2)
Regel	Bedingung	Aktion	Verbundaktion
1		$x:=r\,;\;y:=1^{\mbox{\scriptsize int}(r)+1}$
2		$x:=\displaystyle\frac{1}{\mbox{int}\,(x)+1-x}\,;\,y:=y\circ 0^{\mbox{\scriptsize int}(x)+1}$
3	${\mbox{frac$(x)=0$\space \underline{oder}}\atop \mbox{length$(y)\ge n$}}$	${\mbox{$w:=$\space bzw. $:\approx y\,\ominus\, $right$(y,1)=y\ominus0\,;$} \atop \mbox{$l:=$\space length$(w)$}}$	stop
4		$x:=\displaystyle\frac{1}{\mbox{int}\,(x)+1-x}\,;\,y=y\circ 1^{\mbox{\scriptsize int}(x)+1}$
5	${\mbox{frac$(x)=0$\space \underline{oder}}\atop \mbox{length$(y)\ge n$}}$	${\mbox{$w:=$\space bzw. $:\approx y\,\ominus\, $right$(y,1)=y\ominus1\,;$} \atop \mbox{$l:=$\space length$(w)$}}$	stop
6			goto r2
a $\ominus$ b - Wortentkettung

Algorithmus 5 r $\in$ $\mathbb{R}$ ₊ , r $\notin$ $\mathbb{N}$ DACModul 16, (A3)
Regel	Bedingung	Aktion	Verbundaktion
1		$x:=\displaystyle\frac{1}{\mbox{frac}\,(r)}\,;\,y:=1^{\mbox{\scriptsize int}(r)}$
2		$x:=\displaystyle\frac{\mbox{int}(x)}{\mbox{frac}\,(x)}\,;\,y:=y\circ 0^{\mbox{\scriptsize int}(x)}$
3	${\mbox{frac$(x)=0$\space \underline{oder}}\atop \mbox{length$(y)\ge n$}}$	${\mbox{$w:=$\space bzw. $:\approx y$} \atop \mbox{$l:=$\space length$(y)$}}$	stop
4		$x:=\displaystyle\frac{\mbox{int}(x)}{\mbox{frac}\,(x)}\,;\,y=y\circ 1^{\mbox{\scriptsize int}(x)}$
5	${\mbox{frac$(x)=0$\space \underline{oder}}\atop \mbox{length$(y)\ge n$}}$	${\mbox{$w:=$\space bzw. $:\approx y$} \atop \mbox{$l:=$\space length$(y)$}}$	stop
6			goto r2
Algorithmus 6 r $\in$ $\mathbb{R}$ ₊ , r $\notin$ $\mathbb{N}$ DACModul 16, (A4)
Regel	Bedingung	Aktion	Verbundaktion
1		$x:=\displaystyle\frac{1}{\mbox{frac}\,(r)}\,;\,y:=1^{\mbox{\scriptsize int}(r)}\circ 0^{\mbox{\scriptsize int}(x)}$
2		$x:=\displaystyle\frac{\mbox{int}(x)}{\mbox{frac}\,(x)}\,;\,y:=y\circ 1^{\mbox{\scriptsize int}(x)}$
3	${\mbox{frac$(x)=0$\space \underline{oder}}\atop \mbox{length$(y)\ge n$}}$	${\mbox{$w:=$\space bzw. $:\approx y$} \atop \mbox{$l:=$\space length$(y)$}}$	stop
4		$x:=\displaystyle\frac{\mbox{int}(x)}{\mbox{frac}\,(x)}\,;\,y=y\circ 0^{\mbox{\scriptsize int}(x)}$
5	${\mbox{frac$(x)=0$\space \underline{oder}}\atop \mbox{length$(y)\ge n$}}$	${\mbox{$w:=$\space bzw. $:\approx y$} \atop \mbox{$l:=$\space length$(y)$}}$	stop
6			goto r2
Algorithmus 7 r $\in$ $\mathbb{R}$ [a, b] ; a, b? für k $\in$ $\mathbb{N}$ DACModul 16, (A5)/(A6)
Regel	Bedingung	Aktion	Verbundaktion
1		x : = r - k ; y : = $\varepsilon$
2	${\mbox{$x=0$\space \underline{oder}}\atop \mbox{length$(y)= n$}}$	${\mbox{$w:=$\space bzw. $:\approx y$} \atop \mbox{$l:=$\space length$(y)$}}$	stop
3	x > 0	y : = y`o`1 ; x : = x^-1 - k	goto r2
4		y : = y`o`0 ; x : = - x^-1 - k	goto r2

Tabelle 1: Kodierungsalgorithmen für Gl. (2)

$\epsfbox{modul29_5.ps}$
$\epsfbox{modul29_6.ps}$
Bild 2: Weitere zweidimensionale Notierungsmodelle für w gemäß Gl. (4)

$\mbox{\raisebox{-1.6ex}[1.6ex]{\epsfbox{modul29_31.ps} }\hspace{-2.7cm}{\bf ufgabe 29.1}}$

Erweitern Sie die in Tabelle 1 angelegte Sammlung von Kodierungsalgorithmen für Gl. (2).
Geben Sie in allen Fällen die zugehörigen Dekodierungsalgorithmen (Realisierungsalgorithmen für Gl. (3)) an ( $\rightarrow$ Tabelle 2).
Notieren Sie diese Kodierungs- und Dekodierungsalgorithmen in Struktogrammdarstellung [20,21].

$\mbox{\raisebox{-1.6ex}[1.6ex]{\epsfbox{modul29_31.ps} }\hspace{-2.7cm}{\bf ufgabe 29.2}}$
Erzeugen Sie mittels der in der erweiterten Tabelle 1 enthaltenen Algorithmen und der Notierungsmodelle Bild 1 und Bild 2 interessante Schwarz-Weiß-Muster. Beispiele hierfür finden Sie in [1], Abschn. 2 sowie DACModul 24 und DACModul 26; weitere Beispiele sind in den folgenden Bildern zusammengestellt.

$\epsfbox{modul29_bild3a}$
Bild 3: r = $\sqrt{105}$ ; Algorithmus (A1); Notierungsmodell Bild 1

$\epsfbox{modul29_bild3b}$
Bild 4: r = $\sqrt{70}$ ; Algorithmus (A1); Notierungsmodell Bild 1

$\epsfbox{modul29_bild3c}$
Bild 5: r = $\sqrt{\frac{5}{7}}$ ; Algorithmus (A1); Notierungsmodell Bild 1

$\epsfbox{modul29_bild3d}$
Bild 6: r = $\sqrt{15}$ ; Algorithmus (A1); Notierungsmodell Bild 1

$\epsfbox{modul29_bild3e}$
Bild 7: r = $\sqrt{\frac{15}{7}}$ ; Algorithmus (A1); Notierungsmodell Bild 1

$\epsfbox{modul29_bild3f}$
Bild 8: r = $\sqrt{\frac{5}{3}}$ ; Algorithmus (A1); Notierungsmodell Bild 1

$\epsfbox{modul29_bild3g}$
Bild 9: r = $\sqrt{21}$ ; Algorithmus (A1); Notierungsmodell Bild 1

$\epsfbox{modul29_bild3ga}$
Bild 10: r = $\sqrt{21}$ ; Algorithmus (A1); Notierungsmodell Bild 2, a)

$\epsfbox{modul29_bild3gb}$
Bild 11: r = $\sqrt{21}$ ; Algorithmus (A1); Notierungsmodell Bild 2, b)

$\epsfbox{modul29_bild3gc}$
Bild 12: r = $\sqrt{21}$ ; Algorithmus (A1); Notierungsmodell Bild 2, c) (Hilbert-Kurve)

$\epsfbox{modul29_bild3gd}$
Bild 13: r = $\sqrt{21}$ ; Algorithmus (A1); Notierungsmodell Bild 2, d) (Hilbert-Kurve II)

$\epsfbox{modul29_bild3k}$
Bild 14: r = 2 cos $\left(\vphantom{\frac{\pi}{11}}\right.$ ${\frac{\pi}{11}}$ $\left.\vphantom{\frac{\pi}{11}}\right)$ ; Algorithmus (A2); Notierungsmodell Bild 1

$\epsfbox{modul29_bild3l}$
Bild 15: r = 2 cos $\left(\vphantom{\frac{\pi}{37}}\right.$ ${\frac{\pi}{37}}$ $\left.\vphantom{\frac{\pi}{37}}\right)$ ; Algorithmus (A2); Notierungsmodell Bild 1

$\epsfbox{modul29_bild3h}$
Bild 16: r = ${\frac{1}{2}}$ $\left(\vphantom{\sqrt{5}+1}\right.$ $\sqrt{5}$ + 1 $\left.\vphantom{\sqrt{5}+1}\right)$ ; k = ${\frac{9}{11}}$ ; Algorithmus (A3); Notierungsmodell Bild 1

$\epsfbox{modul29_bild3i}$
Bild 17: r = ${\frac{1}{2}}$ $\left(\vphantom{\sqrt{5}+1}\right.$ $\sqrt{5}$ + 1 $\left.\vphantom{\sqrt{5}+1}\right)$ ; k = ${\frac{10}{11}}$ ; Algorithmus (A3); Notierungsmodell Bild 1

$\epsfbox{modul29_bild3j}$
Bild 18: r = ${\frac{1}{2}}$ $\left(\vphantom{\sqrt{5}+1}\right.$ $\sqrt{5}$ + 1 $\left.\vphantom{\sqrt{5}+1}\right)$ ; k = ${\frac{7}{9}}$ ; Algorithmus (A3); Notierungsmodell Bild 1

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