Modul 35

Teil 1

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Die Module

Curlicue-Variationen

Polygonmuster in der Gaußschen Zahlenebene

Die durch einen nested expression definierte komplexe Funktion f einer reellen Veränderlichen x, des Parameters n und der reellen Gewichtsfunktion $ \varphi$

f (n,$\displaystyle \varphi$, x) = e2$\scriptstyle \varphi$(0)$\scriptstyle \pi$x j$\displaystyle \left(\vphantom{1+e^{2\varphi(1)\pi x\,j}\left(1+e^{2\varphi(2)\p... ...left(1+\ldots+e^{2\varphi(n)\pi x\,j}\left(1\right)\ldots\right)\right)}\right.$1 + e2$\scriptstyle \varphi$(1)$\scriptstyle \pi$x j$\displaystyle \left(\vphantom{1+e^{2\varphi(2)\pi x\,j}\left(1+\ldots+e^{2\varphi(n)\pi x\,j}\left(1\right)\ldots\right)}\right.$1 + e2$\scriptstyle \varphi$(2)$\scriptstyle \pi$x j$\displaystyle \left(\vphantom{1+\ldots+e^{2\varphi(n)\pi x\,j}\left(1\right)\ldots}\right.$1 +...+ e2$\scriptstyle \varphi$(n)$\scriptstyle \pi$x j$\displaystyle \left(\vphantom{1}\right.$1$\displaystyle \left.\vphantom{1}\right)$...$\displaystyle \left.\vphantom{1+\ldots+e^{2\varphi(n)\pi x\,j}\left(1\right)\ldots}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{1+e^{2\varphi(2)\pi x\,j}\left(1+\ldots+e^{2\varphi(n)\pi x\,j}\left(1\right)\ldots\right)}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{1+e^{2\varphi(1)\pi x\,j}\left(1+e^{2\varphi(2)\p... ...left(1+\ldots+e^{2\varphi(n)\pi x\,j}\left(1\right)\ldots\right)\right)}\right)$; (1)
    n $\displaystyle \in$ \mathbb{N}0 ;  
    $\displaystyle \varphi$(i) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \left\{\vphantom{i\,,\,\frac{1}{2}\,i(i+1)\,,\,\frac{1}{6}\,i(i+1... ...,\,\mbox{fib}(i) (i--te Fibonacci--Zahl)\,, p_i (i--te Primzahl),\ldots}\right.$i , $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ i(i + 1) , $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ i(i + 1)(i + 2) , fib(i) (i-te Fibonacci - Zahl) ,  pi (i-te Primzahl) , ...$\displaystyle \left.\vphantom{i\,,\,\frac{1}{2}\,i(i+1)\,,\,\frac{1}{6}\,i(i+1)... ...\,\mbox{fib}(i) (i--te Fibonacci--Zahl)\,, p_i (i--te Primzahl),\ldots}\right\}$;  
    x $\displaystyle \in$ \mathbb{R} ;  j = $\displaystyle \sqrt{-1}$ ;  f (n,$\displaystyle \varphi$, x) $\displaystyle \in$ \mathbb{C}  

erzeugt für n = 0, 1, 2,... als Funktionswerte eine Folge komplexer Zahlen
\begin{displaymath}<f(n,\varphi,x)>_{n=0}^{\mbox{\scriptsize ad infinitum}}. \end{displaymath} (2)
Stellt man diese Funktionswerte als Punkte in der Gaußschen Zahlenebene dar:

pset( f( n,$\displaystyle \varphi$, x ) ) = pset( re( f( n,$\displaystyle \varphi$, x ) ), im( f( n,$\displaystyle \varphi$, x ) ) ) (3)

und verbindet jeden solchen Punkt p( f( n - 1,$ \varphi$, x ) ) mit seinem unmittelbaren Nachfolgerpunkt p( f( n,$ \varphi$, x ) ) durch eine Gerade, entsteht ein Curlicue-artiger [1] Polygonzug.
Im folgenden werden die so erzeugten Muster für verschiedene n, x und $ \varphi$(i) experimentell untersucht.

\epsfbox{modul35_bild1_1}
Bild 1:   n = 900 ,  $ \varphi$(i) = i ,  x = $ \pi$ 
$ \pi$ spiral 		\epsfbox{modul35_bild1}
Bild 2:   n = 600 ,  $ \varphi$(i) = i ,  x = $ {\frac{\pi}{2}}$ ;
$ \pi$ sea horse

\epsfbox{modul35_bild7}
Bild 3:   n = 600 ,  $ \varphi$(i) = i ,  x = $ {\frac{\pi}{4}}$ 		\epsfbox{modul35_bild8}
Bild 4 :   n = 600 ,  $ \varphi$(i) = i ,  x = e$\scriptstyle {\frac{\pi}{2}}$

\epsfbox{modul35_bild4}
Bild 5:   n = 300 ,  $ \varphi$(i) = i ,  x = $ {\frac{1}{33}}$ 		\epsfbox{modul35_bild5_1}
Bild 6:   n = 165 ,  $ \varphi$(i) = i ,  x = $ {\frac{1}{163}}$
M51

\epsfbox{modul35_bild5}
Bild 7:   n = 490 ,  $ \varphi$(i) = i ,  x = $ {\frac{1}{163}}$ 		\epsfbox{modul35_bild6}
Bild 8:   n = 800 ,  $ \varphi$(i) = i ,  x = $ {\frac{1}{\pi}}$

\epsfbox{modul35_bild2}
Bild 9:   n = 500 ,  $ \varphi$(i) = i ,  x = $ \sqrt{163}$ 		\epsfbox{modul35_bild3}
Bild 10:   n = 500 ,  $ \varphi$(i) = i ,  x = $ {\frac{e}{\pi}}$

\epsfbox{modul35_bild9}
Bild 11:   n = 400 , $ \varphi$(i) = i,
x = $ \delta$ = 4.66920160910299... 		\epsfbox{modul35_bild9_1}
Bild 12:   n = 500 ,  $ \varphi$(i) = i ,  x = $ {\frac{1}{\delta}}$


\epsfbox{modul35_bild10}
Bild 13:   n = 400 ,  $ \varphi$(i) = $ {\frac{1}{2}}$i(i + 1) ,  x = $ {\frac{1}{128}}$ 		\epsfbox{modul35_bild11}
Bild 14:   n = 600 ,  $ \varphi$(i) = $ {\frac{1}{2}}$i(i + 1) ,  x = $ {\frac{1}{256}}$

\epsfbox{modul35_bild12_1}
Bild 15:   n = 262 ,  $ \varphi$(i) = $ {\frac{1}{2}}$i(i + 1) ,  x = $ {\frac{\delta}{2}}$

\epsfbox{modul35_bild12}
Bild 16:   n = 300 ,  $ \varphi$(i) = $ {\frac{1}{2}}$i(i + 1) ,  x = $ \pi$ ;
$ \pi$ cats

\epsfbox{modul35_bild13}
Bild 17:   n = 300 ,  $ \varphi$(i) = $ {\frac{1}{2}}$i(i + 1) ,  x = $ {\frac{1}{43}}$ 		\epsfbox{modul35_bild1_14}
Bild 18:   n = 300 ,  $ \varphi$(i) = $ {\frac{1}{2}}$i(i + 1) ,  x = $ {\frac{1}{67}}$ 
stagbeetle clones

\epsfbox{modul35_bild15}
Bild 19:   n = 600 ,  $ \varphi$(i) = $ {\frac{1}{2}}$i(i + 1) ,  x = $ {\frac{1}{139}}$ 		\epsfbox{modul35_bild16}
Bild 20:   n = 600 ,  $ \varphi$(i) = $ {\frac{1}{2}}$i(i + 1) ,  x = $ {\frac{1}{163}}$ 
ant and ant and ... or?

\epsfbox{modul35_bild17}
Bild 21:   n = 600 ,  $ \varphi$(i) = $ {\frac{1}{2}}$i(i + 1) ,  x = $ {\frac{1}{173}}$ 		\epsfbox{modul35_bild18}
Bild 22:   n = 600 ,  $ \varphi$(i) = $ {\frac{1}{2}}$i(i + 1) ,  x = $ {\frac{1}{179}}$

\epsfbox{modul35_bild19}
Bild 23:   n = 600 ,  $ \varphi$(i) = $ {\frac{1}{2}}$i(i + 1) ,  x = $ {\frac{1}{181}}$ 
\epsfbox{modul35_bild20}
Bild 24:   n = 600 ,  $ \varphi$(i) = $ {\frac{1}{2}}$i(i + 1) ,  x = $ {\frac{1}{191}}$


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