Modul 36

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Die Feigenbaumkonstante δ in der Gaußschen Zahlenebene

In DACModul 35 wurde gezeigt:

Die durch einen nested expression definierte Funktion

f (n, $\displaystyle \varphi$ , x)	=	e^2(0)x j $\displaystyle \left(\vphantom{1+e^{2\varphi(1)\pi x\,j}\left(1+e^{2\varphi(2)\p... ...left(1+\ldots+e^{2\varphi(n)\pi x\,j}\left(1\right)\ldots\right)\right)}\right.$ 1 + e^2(1)x j $\displaystyle \left(\vphantom{1+e^{2\varphi(2)\pi x\,j}\left(1+\ldots+e^{2\varphi(n)\pi x\,j}\left(1\right)\ldots\right)}\right.$ 1 + e^2(2)x j $\displaystyle \left(\vphantom{1+\ldots+e^{2\varphi(n)\pi x\,j}\left(1\right)\ldots}\right.$ 1 +...+ e^2(n)x j $\displaystyle \left(\vphantom{1}\right.$ 1 $\displaystyle \left.\vphantom{1}\right)$ ... $\displaystyle \left.\vphantom{1+\ldots+e^{2\varphi(n)\pi x\,j}\left(1\right)\ldots}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{1+e^{2\varphi(2)\pi x\,j}\left(1+\ldots+e^{2\varphi(n)\pi x\,j}\left(1\right)\ldots\right)}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{1+e^{2\varphi(1)\pi x\,j}\left(1+e^{2\varphi(2)\p... ...left(1+\ldots+e^{2\varphi(n)\pi x\,j}\left(1\right)\ldots\right)\right)}\right)$ ;	(1)
		n $\displaystyle \in$ $\mathbb{N}$ ₀ ;
		$\displaystyle \varphi$ (i) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \left\{\vphantom{i\,,\,\frac{1}{2}\,i(i+1)\,,\,\frac{1}{6}\,i(i+1... ...,\,\mbox{fib}(i) (i--te Fibonacci--Zahl)\,, p_i (i--te Primzahl),\ldots}\right.$ i , $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ i(i + 1) , $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ i(i + 1)(i + 2) , fib(i) (i-te Fibonacci - Zahl) , p_i (i-te Primzahl) , ... $\displaystyle \left.\vphantom{i\,,\,\frac{1}{2}\,i(i+1)\,,\,\frac{1}{6}\,i(i+1)... ...\,\mbox{fib}(i) (i--te Fibonacci--Zahl)\,, p_i (i--te Primzahl),\ldots}\right\}$ ;
		x $\displaystyle \in$ $\mathbb{R}$ ; j = $\displaystyle \sqrt{-1}$ ; f (n, $\displaystyle \varphi$ , x) $\displaystyle \in$ $\mathbb{C}$

sowie die Darstellung der Funktionswerte als Punkte in der Gaußschen Zahlenebene

pset(f (n, $\displaystyle \varphi$ , x)) = pset(re(f (n, $\displaystyle \varphi$ , x)), im(f (n, $\displaystyle \varphi$ , x)))

(2)

generiert gemäß Algorithmus (A1) Curlicue-artige [1] fraktale Polygonzüge.

(A1)

Dabei entstehen für bestimmte x-Werte bei geeignet gewählter Gewichtsfunktion $\varphi$ (i) sehr charakteristische geschlossene, aber auch repetitive fraktale Muster bzw. Musterelemente, die, ähnlich wie z.B. Kettenbruchdarstellungen (vgl. DACModul 16), die ,,innere Struktur`` von x in im Einzelnen noch zu interpretierender Weise abbilden.
Darüberhinaus besitzen eine Anzahl der auf diesem Wege erzeugten Muster bzw. Musterelemente einen interessanten ornamentalen Charakter mit eigenständigem ästhetischen Reiz.

Die Feigenbaumkonstante (vgl. DACModul 24)

$\displaystyle \delta$ = 4.669201609102990671853203820466201617258185577475768632745651...

(3)

ist eine solche pictogene mathematische Konstante.
Sie soll im folgenden experimentell ausgelotet werden.

$\fbox{$\varphi(i)=i$ }$

$\epsfbox{delta}$
Bild 1: n = 800 , x = $\delta$ $\epsfbox{delta_bluete}$
Bild 2: n = 130 , x = $\delta$ , rosette

$\epsfbox{delta_2000}$
Bild 3: n = 2000 , x = $\delta$ $\epsfbox{zwei_delta}$
Bild 4: n = 800 , x = 2 $\delta$

$\epsfbox{drei_delta}$
Bild 5: n = 800 , x = 3 $\delta$ $\epsfbox{drei_delta_bluete}$
Bild 6: n = 130 , x = 3 $\delta$ rosette

$\epsfbox{vier_delta}$
Bild 7: n = 800 , x = 4 $\delta$ $\epsfbox{fuenf_delta}$
Bild 8: n = 800 , x = 5 $\delta$

$\epsfbox{sechs_delta}$
Bild 9: n = 800 , x = 6 $\delta$ $\epsfbox{sieben_delta}$
Bild 10: n = 800 , x = 7 $\delta$

$\epsfbox{acht_delta}$
Bild 11: n = 800 , x = 8 $\delta$ $\epsfbox{neun_delta}$
Bild 12: n = 1400 , x = 9 $\delta$

$\epsfbox{zehn_delta}$
Bild 13: n = 1400 , x = 10 $\delta$ $\epsfbox{elf_delta}$
Bild 14: n = 1400 , x = 11 $\delta$

$\epsfbox{zwoelf_delta}$
Bild 15: n = 1200 , x = 12 $\delta$ $\epsfbox{fuenfzehn_delta}$
Bild 16: n = 2000 , x = 15 $\delta$

$\epsfbox{delta_halbe}$
Bild 17: n = 790 , x = ${\frac{\delta}{2}}$ $\epsfbox{delta_halbe_bluete}$
Bild 18: n = 260 , x = ${\frac{\delta}{2}}$ rosette

$\epsfbox{delta_drittel}$
Bild 19: n = 1400 , x = ${\frac{\delta}{3}}$ $\epsfbox{delta_viertel}$
Bild 20: n = 800 , x = ${\frac{\delta}{4}}$

$\epsfbox{delta_teilt_5}$
Bild 21: n = 1400 , x = ${\frac{\delta}{5}}$ $\epsfbox{delta_teilt_6}$
Bild 22: n = 1400 , x = ${\frac{\delta}{6}}$

$\epsfbox{delta_teilt_7}$
Bild 23: n = 2000 , x = ${\frac{\delta}{7}}$ $\epsfbox{delta_teilt_7_bluete}$
Bild 24: n = 900 , x = ${\frac{\delta}{7}}$ , rosette

$\epsfbox{delta_quadr}$
Bild 25: n = 1400 , x = $\delta^{2}_{}$ $\epsfbox{delta_quadr_bluete}$
Bild 26: Ausschnitt von Bild 25:
k = 141...413 , x = $\delta^{2}_{}$

$\epsfbox{delta_wurzel}$
Bild 27: n = 800 , x = $\sqrt{\delta}$
(vgl. DACModul 35, Bilder 4 und 10) $\epsfbox{e_hoch_delta}$
Bild 28: n = 400 , x = e

$\epsfbox{1_2durchdelta}$
Bild 29: n = 800 , x = 1 - ${\frac{2}{\delta}}$
(vgl. DACModul 35, Bild 2 und die folgenden Bilder 30 - 39)

$\epsfbox{wurzel2_modif}$
Bild 30: n = 1400 , x = ${\frac{2^{\sqrt{2}}}{2+2^{\sqrt{2}}}}$ $\epsfbox{wurzel2_modif_bluete}$
Bild 31: n = 990 , x = ${\frac{2^{\sqrt{2}}}{2+2^{\sqrt{2}}}}$ , rosette

$\epsfbox{log}$
Bild 32: n = 1000 , x = ln(1 + ${\frac{2\pi}{3e}}$ ) $\epsfbox{10_w163}$
Bild 33: n = 1000 , x = ${\frac{150}{\sqrt{163}}}$

$\epsfbox{4_teilt_7}$
Bild 34: n = 100 , x = ${\frac{4}{7}}$ $\epsfbox{2_hoch}$
Bild 35: n = 1400 , x = 2 - 1

$\epsfbox{modif_gold_schnitt}$
Bild 36: n = 1000 , x = 15 (2 $\sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)}$ - 1) $\epsfbox{modif_gold_schnitt2}$
Bild 37: n = 1000 , x = 2 $\sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)}$

$\epsfbox{pi_2e}$
Bild 38: n = 1300 , x = ${\frac{15\,\pi}{2\,e}}$ $\epsfbox{pi_2e_ohne}$
Bild 39: n = 1300 , x = ${\frac{15\,\pi}{2\,e}}$
(Punktmenge, ohne Polygonzug)

$\fbox{$\varphi(i)=\lceil\sqrt{i}\rceil$ }$
$\textstyle \parbox{7.5cm}{\epsfxsize=6.cm \epsfbox{samml_wurzel_delta}\\ {\small Bild 40: \em $n=1000\,,\;x=\delta$ }}$
$\fbox{$\varphi(i)=\lfloor \frac{i}{\ln (i+3)}\rfloor$ }$
$\textstyle \parbox{7.5cm}{\epsfxsize=6.cm \epsfbox{samml_log_delta}\\ {\small Bild 41: \em $n=1000\,,\;x=\delta$ }}$

$\textstyle \parbox{7.5cm}{\epsfxsize=6.cm \epsfbox{samml_log_delta2}\\ {\small Bild 42: \em $k=320\ldots 440\,,\;x=\delta$ }}$ $\textstyle \parbox{7.5cm}{\epsfxsize=6.cm \epsfbox{samml_log_delta3}\\ {\small Bild 43: \em $k=610\ldots 780\,,\;x=\delta$ }}$

$\fbox{$\varphi(i)=(7i+41)\mbox{mod} 1023$ }$
$\textstyle \parbox{7.5cm}{\epsfxsize=6.cm \epsfbox{samml_mod1023_delta}\\ {\small Bild 44: \em $n=2000\,,\;x=\delta$ }}$
$\fbox{$\varphi(i)=(7i+41)\mbox{mod} 163$ }$
$\textstyle \parbox{7.5cm}{\epsfxsize=6.cm \epsfbox{samml_mod_delta}\\ {\small Bild 45: \em $n=2000\,,\;x=\delta$ }}$

$\fbox{$\varphi(i)=i^{11}\mbox{mod} 127$ }$
$\textstyle \parbox{7.5cm}{\epsfxsize=6.cm \epsfbox{samml_mod127_hoch_delta}\\ {\small Bild 46: \em $n=2000\,,\;x=\delta$ }}$
$\fbox{$\varphi(i)=i^{3}\mbox{mod} 127$ }$
$\textstyle \parbox{7.5cm}{\epsfxsize=6.cm \epsfbox{samml_mod127_hoch3_delta}\\ {\small Bild 47: \em $n=2000\,,\;x=\delta$ }}$

$\fbox{$\varphi(i)=i^{3}\mbox{mod} 63$ }$

$\textstyle \parbox{7.5cm}{\epsfxsize=6.cm \epsfbox{samml_mod63_hoch3_delta}\\ {\small Bild 48: \em $n=2000\,,\;x=\delta$ }}$

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