Modul 39 Aufgaben und Lösungen Literatur Die Module

Numerische Berechnung von e als Dezimalzahl, Konvergenzverbesserung

39.1 "Ausloten" der numerischen Leistungsfähigkeit

der Folge < an >  ;  n = 1, 2, 3,... mit dem Grenzwert an =  = 1 +  < e , an = e

(8)

Wertetabelle der Folge < a_n > für n = 2^t:
 

n	an
20	2.0
21	2.25
22	2.44140625
23	2.56578451395
24	2.63792849737
25	2.67699012938
26	2.69734495257
27	2.70773901969
28	2.71299162425
29	2.71563200017
210	2.71695572947
211	2.71761848234

Schlechte Konvergenz!
 

1. Schritt (Versuch!) zur Konvergenzverbesserung:

an =  = 1 +  < e ; an = e

(9)

Versuche eine bezüglich e zu < a_n > ,,spiegelbildliche`` Folge < b_n > zu konstruieren.

Ansatz: bn = a-n =  =  > e ; bn = e .

(10)

Wertetabelle von < a_n > und < b_n > für n = 2^t:
 

n	an	bn
20	2.0
21	2.25	4.0
22	2.44140625	3.16049382716
23	2.56578451395	2.91028536805
24	2.63792849737	2.80840396558
25	2.67699012938	2.76200908998
26	2.69734495257	2.73982718149
27	2.70773901969	2.72897673069
28	2.71299162425	2.72361005442	1.010800133
29	2.71563200017	2.72094116209	1.00538555
210	2.71695572947	2.71961030378	1.00268916
211	2.71761848234	2.71894576866

a_n und b_n konvergieren von unten bzw. von oben her schlecht gegen e, der Verlauf von a_n und b_n ist in etwa spiegelbildlich (und zwar umso besser, je größer n ist), der die Folgen verbindende Differenzenquotient konvergiert gegen den ganzzahligen Grenzwert 1:

=  = 1 .

(11)

Konvergenzverbesserung ist also durch eine einfache Mittelwertbildung möglich:

• arithmetisches Mittel

a(an, bn)	=	(an + bn)
	=	+      ,, sperriger`` Formelausdruck	(12)

• geometrisches Mittel

g(an, bn)	=
	=
	=	,, kompakterer`` Formelausdruck	(13)

cn = g(an, bn) =  =

(14)

n	an	bn	cn
20	2.0
21	2.25	4.0	3.0
22	2.44140625	3.16049382716	2.77777777778
23	2.56578451395	2.91028536805	2.73261141191
24	2.63792849737	2.80840396558	2.72183189285
25	2.67699012938	2.76200908998	2.71916734886
26	2.69734495257	2.73982718149	2.71850308421
27	2.70773901969	2.72897673069	2.71833713463
28	2.71299162425	2.72361005442	2.71829565452
29	2.71563200017	2.72094116209	2.71828528494
210	2.71695572947	2.71961030378	2.71828269258
211	2.71761848234	2.71894576866	2.71828204449

c_n konvergiert verglichen mit a_n und b_nwesentlich besser gegen e.

Nichlineare Korrektur!

; so nicht wiederholbar, da c-n = cn .

 

Aufgabe 39.1.1 Untersuchen Sie die Leistungsfähigkeit anderer Mittelwertbildungen zur Konvergenzverbesserung, vgl. [5], Abschn. 2.1.

2. Schritt (Versuch!) zur weiteren Konvergenzverbesserung:

Start mit

e =  ;  n ,

(15)

,,bereinigte`` Formeldarstellung

e =  ;  n ,

(16)

mit 

e =  ;  t .

(17)

39.2 Ausloten von

y(t) =  ;  t = 0, 1, 2,...

(18)

Wertetabelle von y(t)

d y(t) =      -    Differenzenquotient von y(t)

(19)

t	y(t)	d y(t)	y1(t) = y(t + 1) - y(t)	d y1(t)
0	3.0	4.9200	2.70370370370370	20.2885
1	2.7777777778	4.1900	2.71755595662301	16.8801
2	2.7326114119	4.0455	2.71823871982357	16.2106
3	2.7218318928	4.0113	2.71827916753477	16.0521
4	2.7191673489	4.0028	2.71828166266553	16.0130
5	2.7185030842	4.0007	2.71828181810496	16.0032
6	2.7183371346	4.0002	2.71828182781204	16.0008
7	2.7182956545	4.0000	2.71828182841861	16.0002
8	2.7182852849	4.0000	2.71828182845652	16.0000
9	2.7182826926	4.0000	2.71828182845889	16.0000
10	2.7182820445	4.0000	2.71828182845904	16.0000

 

t	y2(t) = y1(t + 1) - y1(t)	d y2(t)
0	2.7184794401509659041243	82.2488
1	2.7182842373702730694390	67.7293
2	2.7182818640488449900855	64.8918
3	2.7182818290075822940376	64.2206
4	2.7182818284675870368452	64.0550
5	2.7182818284591785877759	64.0137
6	2.7182818284590473185499	64.0137
7	2.7182818284590452679084	64.0034
8	2.7182818284590452358688	64.0008
9	2.7182818284590452353682	64.0002
10	2.7182818284590452353604	64.0001

 

Aufgabe 39.1.2 Verifizieren Sie die Korrekturformeln y1(t) und y2(t) unter Benutzung von Methoden der Differenzenrechnung, vgl. [6]-[10] und DACModul 1. Führen Sie weitere lineare Korrekturschritte aus: y3(t), y4(t), ... .

Lösung Aufgabe 39.1.2

 

4   4

(20)

	y(t + 2)	=	- y(t) + y(t + 1)	(21)
	genauerer Wert y(t + 2) aus y(t) und Nachfolger y(t + 1)berechenbar!
	y(t + 3)	=	- y(t + 1) + y(t + 2)
		=	- y(t + 1) +  - y(t) + y(t + 1)
		=	- y(t) + y(t + 1)	(22)
	noch genauere Näherung aus y(t) und y(t + 1) berechenbar!
	y(t + 4)	=	- y(t + 1) + y(t + 2)
		=	- y(t + 1) +  - y(t) + y(t + 1)
		=	- y(t) + y(t + 1)	(23)
	y(t + )	=		(24)

y2(t)	=	- y1(t) + y1(t + 1)	(25)
	=	-  - y(t) + y(t + 1) +  - y(t + 1) + y(t + 2)
	=	. y(t) -  .  +  . y(t + 1) +  .y(t + 2)
	=	. y(t) -  . y(t + 1) +  . y(t + 2)	(26)
y3(t)	=	-  .  . y(t) +  .  . y(t + 1)
		-  .  . y(t + 2) +  .  . y(t + 3)	(27)
y4(t)	=	.  .  . y(t) -  .  .  . y(t + 1)
		+  .  .  . y(t + 2) -  .  .  . y(t + 3)
		+  .  . . y(t + 4)	(28)

y(k + 1)(t) = yk(t + 1) - yk(t) ;  k = 1, 2, 3,...

(29)

Matrizendarstellung der beliebig oft wiederholten linearen Korrektur:

=

(30)

Korrekturgleichung (t) = (t)

(31)

Die Korrekturmatrix  besitzt nachstehendes Bildungsgesetz

= Aij

(32)

Aij = .

(33)

Ihre Elemente A_ij haben folgende interessante Eigenschaften:

(i)Aij  =  1

(34)

Ai0  = Aii-1

(35)

Ai0	=	1 - 1 -1 - 1 - 1 -...	(36)
	=	1 + 31 + 511 + 8191 +...	(37)
	=	+  +  +  +  +  +  +...	(38)
	=	0.68853 75371 20339 71545 65143...  .	(39)

Lösung Aufgabe 39.1.3

y0(t)	=	y(t)	(40)
y1(t)	=	- y(t) + y(t + 1)	(24)
y2(t)	=	. y(t) -  . y(t + 1) +  . y(t + 2)	(26)
y3(t)	=	-  .  . y(t) +  .  .y(t + 1)
		-  .  . y(t + 2) +  .  . y(t + 3)	(27)

=

(41)

• Balkenwaagenmodell (Archimedes) der linearen Korrekturgleichung


y1(t) = y(t + 1) - y(t)(24)

3 y1(t) + y(t) = 4 y(t + 1)

(42)


Bild 1: Balkenwaagenmodell

• In Analogie zu [5], Abschn. 2.3.2: ,, Schaltbild-Modell`` in Form eines deterministischen Automaten (vgl. DACModul 3und 19)

 

 


Bild 2: Lineares Korrekturmodell für k = 1, 2, 3

Dieser Automat besteht aus einer Schiebekette mit einem angeschalteten Netzwerk aus Verknüpfungselementen gemäß Bild 3. Die Basiswerte laufen sequentiell in die Schiebekette ein und stehen so an den Eingangsknoten des Netzwerkes zeitlich parallel zur Verfügung. Die korrigierten Werte der 1., 2., 3., ... Stufe sind, ebenfalls zeitlich parallel, an den Ausgangsknoten des Netzwerkes abgreifbar.


Bild 3: Verknüpfungselement des linearen Korrekturmodells Bild 2;

a1, a2 ;  k = 1, 2, 3,...

Anmerkung 2:
Eine Folge konstanter Basiswerte

y(t) = y(t + 1) = y(t + 2) =...

(43)

passiert das Filter unverändert, in diesem Falle ist

(t) = (t) .

(44)

Anmerkung 3:
Wenn

(t) = (t)

(30)

als Korrekturgleichung interpretiert wird, dann ist die formale Umkehrung

(t) = (t)

(45)

als ,,Störungsgleichung`` interpretierbar. Für die Störungsmatrix  hat man dann

=  = Bij =

(46)

Bij = .

(47)

Es läßt sich damit in Analogie zu Bild 2 auch das zugehörige ,, Störungsnetzwerk`` Bild 4 konstruieren:

Bild 4: Störungsnetzwerk, k = 1, 2, 3
 

Aufgabe 39.1.5 Beschreiben Sie auf der Grundlage der Anmerkungen 1, 2 und 3 den hier vorliegenden ,,algorithmischen Störungsprozeß`` durch ein detailliertes Modell auf ,, Bitebene`` (vgl. DACModul 24).

Aufgabe 39.1.6 Sind die Korrekturmatrix  bzw. die Störungsmatrix  ,,elementar`` oder weiter aufspaltbar (z.B. als Produkt darstellbar)?

Aufgabe 39.1.7 Sind die hier benutzte lineare Korrektur und die vorliegende e-Berechnung mittels der Basisgleichung (18) zu einem kompakten, gut konvergierenden Algorithmus zur e-Berechnung integrierbar?

Aufgabe 39.1.8 Zeigen Sie, daß die hier benutzte lineare Korrektur auch für nachstehenden Basisalgorithmus (A1) optimal ist (vgl. [5], S. 82). (A1)

Aufgabe 39.1.9 Zeigen Sie, daß sich der eingangs beschriebene erste Schritt zur nichtlinearen Konvergenzverbesserung  anbn = a-ncn =  =  mit c-n = cn (48) für n = 2t ;  t = 0, 1, 2,... (49) in abgewandelter Form mit an < e und cn > e weiterführen läßt. Untersuchen Sie die dabei erzielbare Konvergenzverbesserung.

Lösung Aufgabe 39.1.9
Aus der Wertetabelle erhält man für den Differenzenquotienten von a_n und c_n bzgl. e
 

n	an < e	bn > e	cn =  > e
20	2.0
21	2.25	4.0	3.0
22	2.44140625	3.16049382716	2.77777777778
23	2.56578451395	2.91028536805	2.73261141191	10.642131713913023
24	2.63792849737	2.80840396558	2.72183189285	22.634330632623397
25	2.67699012938	2.76200908998	2.71916734886	46.629867500454763
26	2.69734495257	2.73982718149	2.71850308421	94.627485850660803
27	2.70773901969	2.72897673069	2.71833713463	190.62625615699269
28	2.71299162425	2.72361005442	2.71829565452	382.62563141303137
29	2.71563200017	2.72094116209	2.71828528494	766.62531654352803
210	2.71695572947	2.71961030378	2.71828269258	1534.6251584814427
211	2.71761848234	2.71894576866	2.71828204449	3070.6250792931944

(n - 1) .

(50)

Damit hat man für den hiermit korrigierten Wert (gewichtetes geometrisches Mittel)
 

dn	=	cn.an = cn . an
	=	an .  . bn .  . an .  = an .  . bn .
	=	cn .	(51)

Die zugehörige Wertetabelle zeigt:

• d_n konvergiert verglichen mit c_n wesentlich besser gegen e.
• d_n < e.
• Der Differenzenquotient von d_n konvergiert gegen 8.
• Das ,,Spiegelbild`` von d_n bzgl. e

 

d-n = cn

(52)

konvergiert mit gleicher Annäherungsgüte von oben her gegen e.

dnd-nfn mit f-n = fn

(53)

fn =  = cn.

(54)

• f_n konvergiert verglichen mit d_n wesentlich besser gegen e, gegenüber c_n liefert f_n mehr als die doppelte Anzahl gültiger Stellen.
• f_n < e .
• Der Differenzenquotient von f_n konvergiert gegen 16.

hn = cn.

(55)

Nachstehende Wertetabelle gibt einen vergleichenden Überblick über die bisher erhaltenen Ergebnisse.
 

n	cn, Gl. (48)	fn, Gl. (54)	hn, Gl. (55)
21	3.0	2.718223210039534222	2.71896826581008920693688236
22	2.77777777778	2.718249121499411624	2.7182900178354900424925138
23	2.73261141191	2.718279467139236098	2.7182819488318821391092630
24	2.72183189285	2.718281676322580372	2.7182818303119751575913471
25	2.71916734886	2.718281818880828954	2.7182818284878898961074124
26	2.71850308421	2.718281827859323501	2.7182818284594955153110802
27	2.71833713463	2.718281828421545724	2.7182818284590522693536971
28	2.71829565452	2.718281828456701251	2.7182818284590453452600656
29	2.71828528494	2.718281828458898732	2.7182818284590452370774466
210	2.71828269258	2.718281828459036079	2.7182818284590452353871180
211	2.71828204449	2.718281828459044663	2.7182818284590452353607067
212	2.71828188247	2.718281828459045200	2.7182818284590452353602940
213	2.71828184196	2.718281828459045233	2.7182818284590452353602876
Diff.qu.	4	16	64

 

Führen Sie diese Untersuchung fort.

Ausloten der numerischen Leistungsfähigkeit der unendlichen Reihe

e = en =  ;  i! = 1 . 2 . ... . i

(56)

e_n - Berechnung ,,vorwärts``

en = 1 +  + +  +...+    Reihe

(57)

Rekursion vorwärts

(58)

(A2)

Wertetabelle:
 

i	x	y	= i + 2
0	1	1	2
1	1	2	3
2	=0.5	2.5	4
3	= 0.1	2.	5
4	0.041	2.708	6
5	0.008	2.71	7
6	0.0013	2.7180	8
7	0.000198413	2.718253968	9
8	0.000024802	2.71827877	10
9	0.000002756	2.718281526
10	0.000000276	2.718281802  = e10

 

Aufgabe 39.2.1 Untersuchen Sie, ob sich auf Grundlage des Differenzenquotienten  dyi =  = i + 2 (59) in Analogie zu Abschn. 39.1 für (A2) ein lineares Korrekturverfahren zur Konvergenzverbesserung konstruieren läßt.

Lösungshinweis Aufgabe 39.2.1
Ansatz 1

yiy(t) ,  dyidy(t) .

(60)

Mit

dy(t) = t + 2

(61)

erhält man einen verbesserten Werteverlauf für

y1(t) = y(t + 1) - y(t) .

(62)

Diese lineare Korrektur läßt sich, ähnlich wie in Abschn. 39.1 gezeigt, beliebig oft wiederholen:

dyk(t) t + 3k + 2 ;  k = 1, 2, 3,...

(63)

y(k + 1)(t) = yk(t + 1) - yk(t) ;  k = 1, 2, 3,...;

(64)

man erhält allerdings pro Korrekturstufe im Mittel nur einen Zuwachs von 3 gültigen Stellen.
Wie kann das gravierend verbessert werden?
 

e_n - Berechnung ,,rückwärts``

en	=	1 +  +  +  +...+      Reihe	(65)
	=	1 +   nested expression	(66)

e(n, i - 1) = 1 +  ;  i = n, n - 1,..., 1 ;  e(n, n) = 1

(67)

(A3)

Wertetabelle:
 

i	x		?
10	1	4.5
9	1.1	1.230769256
8	1.1	0.798245576
7	1.1402
6	1.162896825
5	1.193816138
4	1.238763228
3	1.30960807	0.450353565
2	1.436563602	0.281718199
1	1.718282801
0	2.718281801  = e10

Aufgabe 39.2.2 Vergleichen Sie die Algorithmen (A2) und (A3).

Aufgabe 39.2.3 Versuchen Sie die Algorithmen (A2) und (A3) so zu ,, koppeln``, daß ein besser konvergierender Algorithmus zur Berechnung von en entsteht!

Aufgabe 39.2.4 Vergleichen Sie die Werteverläufe und Differenzenquotienten von en = (56) und en =  mit a1 = 1, ai + 1 = (i + 1)(ai + 1) . (68) Diskutieren Sie die erhaltenen Ergebnisse.

Anmerkung 4:
Näherungsweise Berechnung von g (x, y) mittels a (x, y) und h (x, y) (harmonisches Mittel):
 

Regel Bedingung Aktion Verbundaktion 1   (x, y) : = (a, b)   2 | x - y |  : = x stop 3   (x, y) : =  ,  goto r2

(A4)

Anmerkung 5:
Literatur zu e: [4], [7], [11] - [21]

Anmerkung 6:
Aus [5], Abschn. 2
Mit freundlicher Genehmigung des Verlages Dresden University Press.

  
1 Mittelwerte und Mittelwert-Algorithmen,
historische Reflexionen

1.1 Babylon

1.2 Griechenland

arithmetisches Mittel			(1)
geometrisches Mittel			(2)
		= (x . y) = exp
		= expa(lnx, ln y)   und	(3)
harmonisches Mittel			(4)
		= (x-1 + y-1)
		= a(x-1, y-1)	(5)
		=	(6)

in die griechische Mathematik eingeführt [1].

(a)

Geben Sie eine simultane Veranschaulichung von a(x, y), g(x, y)und h(x, y) an.

 

 
 
 

Lösung 1:

a(x, y) =   - Radius eines Thaleskreises                                                                                                                             (1)

(g(x, y))2 = x . y

(7)

=

(8)

Bild 1: Simultane geometrische Veranschaulichung von a(x, y)g(x, y)h(x, y)
für x < y nach Pappos von Alexandria (ca. 320 n. Chr.) [5]
Bild 1 besitzt folgende interessante Verallgemeinerung (Pappos-Leiter), die im Bild 2 dargestellt ist.

Bild 2: Pappos-Leiter

Hierbei hat man:

li	=	l . ; i = 1, 2, 3,...	(9)
ai	=	a . ; i = 1, 2, 3,...	(10)
gi	=	g . ; i = 1, 2, 3,...	(11)

Lösung 2:

(12)

Lösung 3:
a(x, y), g(x, y) und h(x, y) sind Spezialfälle des quasiarithmetischen Mittels (arithmetisches Mittel bzgl. der Funktion f (z) mit der Umkehrfunktion inv f (z))

qaf(x, y) = inv f,

(13)

vgl. Tabelle 1 [6,7].
 

f (z)	invf (z)	qaf(x, y)
z	z	a(x, y)
ln z	ez	g(x, y)
z-1	z-1	h(x, y)
z2	z =
		quadratisches Mittel
zp	z
		p-tes Potenzmittel
zp p +  z-p p -		max(x, y) min(x, y)

Tabelle 1: Spezielle qa_f(x, y)
 

(b)

Loten Sie die in (a) betrachteten Lösungen weiter aus.

 

(c)

Zeigen Sie, daß alle in Tabelle 1 angegebenen Spezialfälle des qa_f(x, y) auf Spezialfälle von

 

f (z) = zp

(14)

zurückgeführt werden können (vgl. [7]). Erweitern Sie Tabelle 1 durch Hinzunahme weiterer charakteristischer Funktionen f (z).