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"Neugier, allgemeinsprachlich oft abwertend gebrauchte Bez. für
unangemessenes Interesse an den Angelegenheiten anderer Menschen;
grundsätzlich ist N. (N.--Verhalten) ein Bedürfnis nach Neuem und Aufsuchen
von Neuem, wobei orientiertes ebenso wie gerichtetes und zielstrebiges
Vorgehen eine Rolle spielt. N. ist ein bei Menschen und bei Tieren
zu beobachtendes Verhalten, das wahrscheinlich angeboren ist (Trieb
zur Exploration). Sie regt zum Auskundschaften der Umwelt und zu oft
spieler. äußerem und innerem Experimentieren um der Entdeckung des
Neuen willen an. Der kindl. N. und ihrer Förderung durch ein freilassendes
und Anregungen bietendes Verhalten der Erziehungspersonen wird in der
Pädagogik eine große Bedeutung beigemessen für die Entwicklung
der Motivation eines späteren Strebens nach Erkenntnis (Lernfähigkeit,
Wißbegier), schöpfer. Tätigkeiten, aber auch für Offenheit und
Kontaktbereitschaft im Sozialisationsprozeß. Bei vielen Tieren
erlischt das N.--Verhalten mit der Geschlechtsreife. Beim Menschen
dagegen bleibt die N. lebenslang bestehen."
Brockhaus Enzyklopädie, Band 15, S. 474, Mannheim 1991
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Interpretiert man die Halbwinkelbeziehung der Cosinusfunktion
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(1) |
als Rekursionsgleichung und
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(2) |
als die zugehörige Startgleichung, so ergibt sich als Lösung die
Kettenwurzeldarstellung
| (3) |
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in der (m+1)-mal der Radikand 2 auftritt und die Wurzeln durch das
m-stellige Vorzeichenwort 
verknüpft werden.
Mit
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(4) |
und
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(5) |
folgt andererseits aus Gl. (3)
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(6) |
und damit die Kettenwurzeldarstellung
| (7) |
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Sie erkennen:
Bei gleicher Struktur unterscheiden sich die Gleichungen
(3)  (7)
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- auf der linken Seite im (diskreten) Argument der Cosinusfunktion:
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- auf der rechten Seite im m-stelligen Vorzeichenwort der
Wurzelverknüpfung:
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An dieser Stelle erwacht Ihre Neugier, der Trieb zur
Exploration und ''verführt'' Sie zu der Hypothese:
Es könnte sein, daß eine Kettenwurzeldarstellung der Cosinusfunktion
| (8) |
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existiert, wobei jedem möglichen diskreten Argumentwert
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(9) |
eineindeutig ein m-stelliges Vorzeichenwort
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(10) |
bzw. ein zugehöriges m-stelliges Binärwort
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zugeordnet ist:
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(12) |
Da eine Bestätigung dieser Hypothese durch eine exakte Herleitung
der Gln. (8)-(12) schwierig erscheint, entscheiden
Sie sich zunächst für eine Überprüfung durch ein Experiment, das
bei negativem Ausgang die Hypothese widerlegt:
Bei m=3 wird für alle 
aus den
Gln. (8) - (11) numerisch, z.B. mittels Taschenrechner, 
berechnet.
Ergebnis:
| b2
| b1 |
b0 |
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| 0 | 0 | 0 |
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| 0 | 0 | 1 |
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| 0 | 1 | 0 |
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| 0 | 1 | 1 |
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| 1 | 0 | 0 |
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| 1 | 0 | 1 |
 |
| 1 | 1 | 0 |
 |
| 1 | 1 | 1 |
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D.h., die Hypothese ist für m=3 bestätigt, insbesondere
ist jedem Zähler eineindeutig ein b zugeordnet.
Darüberhinaus eröffnet die Interpretation des vorliegenden
Ergebnisses (m=3) einen Weg zur Bestimmung des noch unbekannten
Bildungsgesetzes von f:
| (13)
(14) |
.
Aus vorstehender Baumdarstellung entnehmen Sie sofort: Der gesuchte
bijektive Zusammenhang zwischen Zähler bzw. a und b ist der
Gray-Kode [1,2] (Konstruktionsprinzip Paarbildung!).
| (15) |
4.1.
Überprüfen Sie die durch die Gln. (13)-(15) erweiterte Hypothese
experimentell für m=4.
4.2.
Verifizieren Sie die so erhärtete Hypothese nun durch exakte Herleitung
aller Gln. (8)-(15).
Ergebnis:
Die Funktionswerte von 
und
lassen sich für diskrete
äquidistante Argumente x 
in
Form einer endlichen Kettenwurzel darstellen.
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(16)
(17)
(18)
(19)
(20) |
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Spezialfälle:
4.3.
Geben Sie auf Grundlage der Gln. (16)-(20) Kettenwurzeldarstellungen
weiterer mathematischer Konstanten an. Z.B. ist
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(27) |
4.4.
Untersuchen Sie numerisch das Konvergenzverhalten der
Kettenwurzeldarstellungen Gln. (23), (26), (27), ..
Basisinvention |
Go to tan |
Archimedes-Kode |
Ad astra |
Schlußbetrachtung |
Literatur
Die Module
, vgl. Baustein 7)
