Modul 5

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Berechnung und Klassifikation des ebenen Dreiecks

Algorithmen aus der analytischen Geometrie/
computational geometry [1,2]
Wir betrachten ein ebenes Dreieck , Bild 1.


Bild 1

Seine Eckpunkte Pi sind durch ihre kartesischen Koordinaten (xi, yi) gegeben:

P1 = (x1, y1),   P2 = (x2, y2),   P3 = (x3, y3).

5.1.

Leiten Sie basierend auf Bild 1 eine möglichst einfache und kompakte (insbesondere die dem Problem innewohnende Symmetrie adäquat widerspiegelnde) Bestimmungsgleichung für den Flächeninhalt A dieses Dreiecks in Abhängigkeit von den Koordinaten xi und yi der Eckpunkte Pi her (vgl. Modul 2).
Geben Sie dabei Grundidee und Einzelschritte der Herleitung detailliert an.

5.2.

Untersuchen Sie die Abhängigkeit von A vom "Umlaufsinn" P1->P2->P3->P1.

5.3.

Entwickeln Sie basierend auf Bild 1 einen möglichst einfachen und kompakten Formelausdruck für die Koordinaten xf und yf des Höhenfußpunktes F auf der Seite (Lotfußpunkt von P3 auf ) in Abhängigkeit von den Koordinaten xi und yi der Punkte Pi (vgl. Modul 2).

Geben Sie dabei Grundidee und Einzelschritte der Herleitung detailliert an.

5.4.

Benutzen Sie das Ergebnis von 5.3. zur Entwicklung eines möglichst einfachen Algorithmus, mit dessen Hilfe allein aus den Koordinaten xi und yi der Pi durch Rechnung festgestellt wird:
F liegt innerhalb von , d.h.
auf der Geraden durch P1 und P2 vor P1
hinter P2
in

besitzt bei P1 und P2 einen spitzen Winkel.
P1 einen stumpfen Winkel, ist also stumpfwinklig.
P2
P1 einen rechten Winkel, ist also rechtwinklig.
P2

5.5.

Erweitern Sie das Ergebnis von 5.4. zu einem Klassifikationsalgorithmus:
ist spitzwinklig.
rechtwinklig.
stumpfwinklig.

5.6.

Die Koordinaten des ...
eines ebenen Dreiecks

lassen sich in Abhängigkeit von den Koordinaten xi und yi der Punkte Pi wie folgt in Zylindernotation angeben

(vgl. [1,2] und Modul 2)

Höhenschnittpunktes
H = (x h , y h)


Bild 2

(1)
(2)
Schnittpunktes der Mittelsenkrechten = Mittelpunktes des Umkreises
M = ( x m, ym)


Bild 3

(3)
(4)
Tabelle 3

Die Hälfte der Zylinderfelder der Zähler der Gln. (1) bis (4) sind dabei mit Variablen xi oder yi, die andere Hälfte mit Ausdrücken (z.B. x1x3 + y1y3) belegt.

Formen Sie diese Zähler-Zylinder so um, daß danach jedes Zylinderfeld nur mit einer Variablen xi oder yi belegt ist (vgl. Modul 2, Gln. (6) und (7)).

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